Peluang

PELUANG DARI SUATU RUANG SAMPEL YANG TERHINGGA

A.    RUANG SAMPEL

·      Ruang sampel merupakan himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S.

Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau titik sampel.

Contoh:

1.      Ruang sampel pada pelemparan sebuah dadu berisi enam

a.    Bila pengamatan pada bilangan yang muncul

b.   Bila pengamatan pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil

2.      Ruang sampel yang berisi informasi dari tiga produk yang diambil secara acak dari suatu proses produksi di pabrik. kemudian setiap produk tersebut diperiksa apakah cacat (C) atau tidak cacat(T).

·      Menghitung titik sampel:

1.      Kaidah penggandaan umum

bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n₁ cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n₂ cara, bila untuk setiap pasangan dua cara pertama operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan demikian seterusnya maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n₁ . n₂...nk cara.

2.      Permutasi

Permutasi merupakan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda.

-          banyanya permutasi n benda yang berbeda

n!

-          banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda

-          Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran

(n-1)!

-          banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n₁ dantaranya berjenis pertama, n₂ berjenis kedua,...nk berjenis ke - k

-          banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n₁ unsur dalam sel petama, n₂ unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya.

(

n n1,n2,… nr

)

=

Dalam hal ini n₁ + n₂ + n₃ +….+ n_r = n

3.      Kombinasi

Kombinasi merupakan permutasi tanpa memperhatikan urutan

-          banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah

(

n r

)

=

·      Perbedaan permutasi dan kombinasi

Salah satu perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi adalah jika Permutasi maka perbedaan urutan menjadikan perbedaan makna, sementara di Kombinasi perbedaan urutan tidak akan menjadikan perbedaan makna. Contoh: {a,b,c} pengambilan 2 unsur dari 3 unsur jika menggunakan permutasi maka akan diperoleh hasil ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Tetapi jika menggunakan kombinasi hasil yang diperoleh adalah ab, ca, bc.

B.     KEJADIAN

·         Kejadian merupakan suatu himpunan bagian dari ruang sampel

·         kejadian sederhana: bila suatu kejadian dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang hanya terdiri dari satu titik sampel

·         kejadian majemuk: kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian sederhana.

·         Ruang nol adalah himpunan bagian ruang sampel yag tidak mengadung satupun anggota. kejadian ini diberi lambang khusus, yaitu

·         Pengolahan terhadap kejadian

1.      Irisan (union) Dua Kejadian

Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A∩B, adalah kejadian yang mengandung unsur persekutuan kejadian A dan B

2.      Paduan (Interaksi) Dua kejadian

paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan AUB, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya

3.      Komplemen suatu kejadian

komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan A'.

·         kaidah penjumlahan

sering kali lebih mudah menghitung peluang suatu kejadian berdasarkan peluang kejadian lain. hal ini berlaku antara lain pada kejadian yang dapat dinyatakan sebagai paduan antara dua atau lebih kejadian, atau sebagai komplemen suatu kejadian lainnya.

-          bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

-          bila A dan B saling terpisah, maka P(AUB) = P(A) + P(B)

-          bila A1, A2,....An saling terpisah, maka P(A₁ U A₂ U.......A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... +P(A_n)

-          bila A dan A' adalah dua kejadian yang satun merupakan komplemen lainnnya, maka P(A) + P(A') = 1

·         Peluang bersyarat

peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain A telah terjadi disebut peluang bersyarat, dilambangkan dengan P(BA), dan didefinisikan sebagai:

P(B|A)  =  

·         Kaidah penggandaan

dengan menggandakan kedua sisi rumus peluang bersyarat dengan P(A),diperoleh kaidah penggandaan, yang memungkinkan untuk menghitung peluang terjadinya dua kejadian sekaligus.

- bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka

  P(AB) = P(A) P(BA)

- bila dua kejadian A dan B bebas, maka

  P(AB) = P(A) P(B)

- bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1,A2,...,Ak dapat terjadi, maka

 P(A1A2A3....AK) = P(A1)P(A2)P(A3)....P(AK)

·         kaidah Bayes

-       Dalil peluang total: bila kejadian-kejadian B₁, B₂, ...., B_k ≠ 0 untuk i = 1,2,..,k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku:

 P(A) = P(B₁)P(AB₁) + P(B₂)P(AB₂) + .... + P(BK)P(ABK)

-       Kaidah Bayes

 bila kejadian B₁,B₂,...,BK merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(Bi) =/ 0 untuk i=1,2,...,k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) =/ 0,

 P(BrA) = P(Br) P(A‌‌‌│Br) / P(B₁) P(A│B₁)+P(B₂)P(A│B₂)+….+P(B_k) P(A│B_k)

 untuk r =1,2,...,k

Contoh 1

Di dalam suatu kotak terdapat empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang pengambilan sebuah bola biru dari kotak tersebut?

Solusi.

Terdapat sembilan keluaran yang mungkin, dan kejadian “terpilihnya bola biru” meliputi empat dari sembilan keluaran tadi. Maka, peluang kejadian ini adalah 4/9.

Contoh 2

Suatu kuis dengan soal benar/salah memiliki sepuluh pertanyaan. Jika anda menjawab setiap pertanyaan secara random, berapakah peluang bahwa nilai anda minimal 70 (dari skala 100)?

Solusi.

Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8, 9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat:

•            C(10,10)=1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar,  

•            C(10,9)=10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar,

•            C(10,8)=45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar,

•            C(10,7)=120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar,

Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan benar adalah:

p(min 7 benar)    = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar)

   = 1/2¹⁰ + 10/2¹⁰ + 45/2¹⁰ + 120/2¹⁰

   = 176/1024 » 0,172

Contoh 3

Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola bernomor 1,2,…,50 jika

a.          bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah             sebelum pemilihan bola berikut

b.         bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah          sebelum pemilihan bola berikut

Solusi.

a.          sampling dengan penggantian

Ada 50.49.48.47.46 cara memilih bola.

Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah

b.         sampling tanpa penggantian

Ada (50)⁵ cara memilih bola.

Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah

1 / (50)⁵